theoreme lindemann weierstrass

Rappel, on dit qu'un nombre est algébrique s'il est une racine d'un polynome à coefficients entiers. Un nombre transcendant est un nombre qui n'est pas algébrique.

Théorème Lindemann-Weierstrass:
$K + ae^{\alpha} + be^{\beta} + ce^{\gamma}+... \not=0$
K, a, b, c,... : algébriques non nul, α, β, γ ... algébriques distints.

La démontration se fait en 4 étapes:
Etape A:
Lemme A:
$K + c(e^{\beta_1} + e^{\beta_2}+...+e^{\beta_m}) \not=0$
K, c : entiers non nul, β_i les conjugués distints (les racines distintes d'un polynome à coeff entiers T(x)=vx^m+...+u)

Démontration:
L'idée c'est trouver une suite d'entiers NON NUL qui converge vers zéro.
On pose:
$f(x) = \frac{v^{mp}x^{p-1}}{(p-1)!}(x-\beta_1)^p(x-\beta_2)^p ... (x-\beta_m)^p$ Avec p=premier
et
$I(s)=\int_0^s e^{s-x} f(x)dx$ Avec s=complexe
I(s) c'est donc un nombre complexe, l'intégrale se fait sur n'importe quel chemin de 0 à s
C'est I(s) que nous allons étudier.

I. Majoré I(s):
|x| <= |s|, |x-s| <= |s|
|e^s-x| <= |e^R(s-x)| <= e^|s|
|f(x)| <= f*(|x|) <= f*(|s|)
$f*(x) = \frac{v^{mp}x^{p-1}}{(p-1)!}(x+|\beta_1|)^p(x+|\beta_2|)^p ... (x+|\beta_m|)^p$
on a:
$|I(s)| <= |\int_0^s |e^{s-x} f(x)|dx|$
$<= e^{|s|}f*(|s|)|\int_0^s dx|$
<= |s|e^|s|f*(|s|)
ça donne:
|I(s)|<= |s|e^|s| |v|^mp|s|^p-1(|s|+|β₁|)^p(|s|+|β₂|)^p...(|s|+|β_m|)^p
<= |s|e^|s| |v|^mp|s|^p-1(|s|+|β|)^mp ou |β| = max des |β_i|
donc
|I(s)|<= A M^p/(p-1)! qui tend vers 0 quand p ----> infini

II. Relation Hermite:
$I(s)=\int_0^s e^{s-x} f(x)dx$ Avec s=complexe
Intégration par partie
u = f(x) u' = f'(x)
v = e^s-x V = -e^s-x
$I(s)= [-e^{s-x} f(x)]_0^s + \int_0^s e^{s-x} f'(x)dx$
$I(s)= e^sf(0)-f(s) + e^sf'(0)-f'(s) + \int_0^s e^{s-x} f''(x)dx$
finalement (relation Hermite) :
$I(s)= e^s\sum_{j=0}^nf^{(j)}(0) - \sum_{j=0}^nf^{(j)}(s)$
Où n = d°f = mp+p-1
Appliquer cette relation à β_i et sommons sur i

$\sum_{i=1}^mcI(\beta_i)= \sum_{i=1}^mce^{\beta_i}\sum_{j=0}^nf^{(j)}(0) - \sum_{i=1}^m\sum_{j=0}^ncf^{(j)}(\beta_i)$

$= (K + \sum_{i=1}^mce^{\beta_i})\sum_{j=0}^nf^{(j)}(0)- K\sum_{j=0}^nf^{(j)}(0)- \sum_{i=1}^m\sum_{j=0}^ncf^{(j)}(\beta_i)$
posons:
$A_p = \sum_{i=1}^mcI(\beta_i)$

$B_p = K\sum_{j=0}^nf^{(j)}(0) + \sum_{i=1}^m\sum_{j=0}^ncf^{(j)}(\beta_i)$
voyons de plus prés le terme:
$\sum_{i=1}^m\sum_{j=0}^ncf^{(j)}(\beta_i)$

au lieu de sommer en lignes j (puis en colonnes i) , on ne voit rien !!! par contre si on somme en colonnes i d'abord (puis en lignes j) alors là on voit quelque chose. En effet en sommant en colonne i le résultat est un nombre entier , non seulemnt c'est un nombre entier mais en plus c'est un multiple de p. permutons donc les 2 sommes.

$\sum_{j=0}^n\sum_{i=1}^mcf^{(j)}(\beta_i)$

III. Etudier les sommes:
$\sum_{j=0}^nf^{(j)}(0)$
et
$\sum_{i=1}^mf^{(j)}(\beta_i)$
Voyons de plus pres f^(j)(0) et f^(j)(β_i)
Pour f^(j)(0) :
cas j < p-1 ===> f^(j)(0) = 0 car il y a le facteur x dans le produit
pour j = p-1 on utilise la formule de Taylor:
....+ f^(p-1)(0)x^(p-1)/(p-1)!+ ... = x^p-1(x-β₁)^p(x-β₂)^p...(x-β_m)^p/(p-1)!
or
f^(p-1)(0) est le terme constant de (x-β₁)^p(x-β₂)^p...(x-β_m)^p
donc pour j = p-1 ===> f^(p-1)(0) = v^mp(β₁β₂...β_m)^p
cas j >= p ===> f^(j)(0) = 0 (mod p) (voir ci-dessus)

Pour f^(j)(β_i) :
cas j < p-1 ===> f^(j)(β_i) = 0 car il y a le facteur x-β_i dans le produit
cas j = p-1 ===> f^(p-1)(β_i) = 0 car il y a le facteur x-β₁ dans le produit
pour j >= p écrivons f(x) autrement
$f(x)= v^{mp}/(p-1)!\sum_{i=0}^{mp}b_ix^{i+p-1}$
d'où
$f^{(p)}(x)= v^{mp}/(p-1)!\sum_{i=1}^{mp}A_{i+p-1}^pb_ix^{i-1}$
$f^{(p)}(x)= v^{mp}p!/(p-1)!\sum_{i=1}^{mp}C_{i+p-1}^pb_ix^{i-1}$
donc
cas j >= p ===> f^(j)(β_i) = pA_i A_i=complexe (c'est ici on a besoin 1/(p-1)! pour qu'il reste p au lieu de p!)
En resumé:
on a:
f^(p-1)(0) = v^mp(β₁β₂...β_m)^p
f^(j)(β_i) = pA_i pour j<>p-1 avec A_i=complexe

donc
$\sum_{j=0}^nf^{(j)}(0) = v^{mp}(\beta_1\beta_2...\beta_m)^p = v^{mp-p}(-1)^{mp}u^p (mod \; p)$
f^(j)(β_i) est de la forme pA_i ou A_i est un nombre complexe donc on ne peut pas parler de 'modulo' !! par contre la some
$\sum_{i=1}^mf^{(j)}(\beta_i)$
(que nous allons démontrer ) est un nombre entier !!
$g(\beta_1,\beta_2,...,\beta_m)=\sum_{i=1}^mf^{(j)}(\beta_i)$
c'est un polynome à coefficients entiers (car les f^{( j )} sont des polynomes à coefficients entiers), symétrique en β_i donc d'après le théoreme des polynomes symétriques, il existe un polynome h à coefficients entiers des polynomes élémentaires de β₁ , β₂ ,... β_m. tel que:
$g(\beta_1,\beta_2,...,\beta_m)= h(\sigma_1,\sigma_2,...,\sigma_m) = rationnel$
car les
$\sigm(\beta_1,\beta_2,...,\beta_m)= rationnel$
Car les β_i sont des racines d'un polynome à coefficients entiers
dans la définition de f(x) le v^mp chasse les dénominateurs ainsi g est un entier.
$\sum_{i=1}^nf^{(j)}(\beta_i)$ est bien un entier
de plus c'est un entier = 0 (mod p) puisque f^(j)(β_i) = pA_i , A_i=complexe
donc pour chaque j on a:
$\sum_{i=1}^ncf^{(j)}(\beta_i)=p\sum_{i=1}^ncA_i = pH_j$ H_j complexe

Comme c est un entier
$\sum_{j=0}^n\sum_{i=1}^mcf^{(j)}(\beta_i) = pH$ H entier

est bien un entier mod p

finalement
$B_p = K\sum_{j=0}^nf^{(j)}(0) + \sum_{j=0}^n\sum_{i=1}^mcf^{(j)}(\beta_i) = Kv^{mp}(\beta_1\beta_2...\beta_m)^p + pH$

$B_p = K\sum_{j=0}^nf^{(j)}(0) + \sum_{j=0}^n\sum_{i=1}^mcf^{(j)}(\beta_i) = Kv^{mp-p}(-1)^{mp}u^p + pH$
si on prend p > sup (|K|,|v|,|u|) on aura
B_p <>0 (mod p) donc B_p est un entier NON NUL alors que A_p tend vers 0 quand p tend vers infini donc contradition. On a donc:
$K + c\sum_{i=1}^me^{\beta_i} \not= 0$
Le lemme A est ainsi démontré.

Etape B:
Lemme B
$K + a(e^{\alpha_1} + e^{\alpha_2}+...+e^{\alpha_l}) + b(e^{\beta_1} + e^{\beta_2}+...+e^{\beta_m})+... \not=0$
K, a, b, ... : entiers non nul, α_i conjugués distints, β_i conjugués distints,...
Démontration:
Dans la démontration du lemme A, pour chaque somme
$K + b(e^{\beta_1} + e^{\beta_2}+...+e^{\beta_m})$
on a:
$B = Kv^{mp}(\beta_1\beta_2...\beta_m)^p + pH$
B₁ = r₁ (mod p) avec r₁ entier positif
B₂ = r₂ (mod p) avec r₂ entier positif
....
d'ou
B₁ + B₂ + ...= r₁ + r₂ ... (mod p)
donc il suffit de choisir p très grand (p > r₁ + r₂ ...) on aura
B₁ + B₂ + ... <>0 (mod p) ainsi
$K + a(e^{\alpha_1} + e^{\alpha_2}+...+e^{\alpha_l}) + b(e^{\beta_1} + e^{\beta_2}+...+e^{\beta_m})+... \not=0$

Etape C:
$K + ae^{\alpha} + be^{\beta} + ce^{\gamma}+... \not=0$
K, a, b, c,... : entiers non nul, α, β, γ ... algébriques distints.
Démontration:
Supposons donc:
$K + ae^{\alpha} + be^{\beta} + ce^{\gamma}+... = 0$
L'idée c'est d'ajouter les conjugés de α, β, γ ...
Soit A l'ensemble de tous ces conjugués:
$A = \{\alpha_1,\alpha_2,...,\beta_1,\beta_2,...,\gamma_1,\gamma_2,... \}$ et renommons les en
$A = \{\theta_1,\theta_2,...,\theta_n \}$ puis formons le produit suivant
$\prod_\sigma \;\;(K + ae^{\theta_{\sigma(1)}} + be^{\theta_{\sigma(2)}}+ ce^{\theta_{\sigma(3)}}+0e^{\theta_{\sigma(4)}}...+0e^{\theta_{\sigma(n)}} ) \;=0 \;\;\;\sigma=permutation$
En développant on trouve une somme de la forme suivante:
$K' + a'(e^{\mu_1} + e^{\mu_2}+ e^{\mu_3} +...) + b'(e^{\nu_1} + e^{\nu_2} + e^{\nu_3}+...) +... \;=0$
où
$\mu_1 = \sum h_i\theta_i \;h_i \;entier$
$\mu_2 = \sum k_j\theta_j \;k_j \;entier$
.....
Lorsqu'on permute $\alpha_1 -> \alpha_2 , \;ou \; \beta_1 -> \beta_2$ on permute $\mu_i$
Donc si on pose:
$P(x) = (x-\mu_1)(x-\mu_2)...$
les $\mu_i$ sont des racines d'un polynomes à coeff entiers
En effet soit a un coeff de P(x)
$a = \sigma(\mu_1,\mu_2,...)= f(\alpha_1,\alpha_2,...,\beta_1,\beta_2,...,\gamma_1,\gamma_2,...)$
f à coeff entiers, symétrique en $\alpha,\beta,\gamma,... \;donc \;a=rationnel$
Donc d'après le lemme B le produit ne doit pas être nul d'où la contradition.

Etape D:
$K + ae^{\alpha} + be^{\beta} + ce^{\gamma}+... \not=0$
K, a, b, c,... : algébriques non nul, α, β, γ ... algébriques distints.
Démontration:
Supposons que:
$K + ae^{\alpha} + be^{\beta} + ce^{\gamma}+... = 0$
On applique sur les coeff le même raisonnement que sur les exposants: Ajoutons donc les conjugés de K,a,b,c, ....
$A = \{K_1,K_2,...,a_1,a_2,...,b_1,b_2,... \}$ et renommons les en
$A = \{\theta_1,\theta_2,...,\theta_n \}$ puis formons le produit suivant
$\prod_\sigma \;\;(\theta_{\sigma(1)} + \theta_{\sigma(2)}e^{\alpha} + \theta_{\sigma(3)}e^{\beta}+ \theta_{\sigma(4)}e^{\gamma} + ...) \;=0 \;\;\;\sigma=permutation$
En développant on trouve une somme de la forme suivante:
$(\tau_1 + \tau_2 + \tau_3 +...) + (\mu_1 + \mu_2 + \mu_3 +...)e^{\phi_1} + (\nu_1 + \nu_2 + \nu_3+...)e^{\phi_2} +... \;=0$
où
$\mu_1 = \sum h_i\theta_i \;h_i \;entier$
$\mu_2 = \sum k_j\theta_j \;k_j \;entier$
.....
Lorsqu'on permute $K_1 -> K_2 , \;ou \; a_1 -> a_2$ on permute $\mu_i$
donc les coeff sont rationnels:
$a' = (\mu_1 + \mu_2 + \mu_3 +...) = f(K_1,K_2,...,a_1,a_2,...,b_1,b_2,...)$
f à coeff entiers, symétrique en K,a,b,c... donc a'=rationnel ,La somme ne doit pas être nul d'où la contradition
Le théorème est ainsi démontré.

Application:

e transcendant
supposons que e soit algébrique , il existe donc un polynome P(x) à coefficients entiers qui annulle e
P(e) = 0
$K + \sum_{i=1}^mc_ie^i = 0$
ce n'est pas possible

π transcendant
on a:
$e^{i\pi} + 1 = 0$
ce qui oblige que iπ soit transcendant puis π transcendant

cos(x), sin(x), tg(x), e^x ....
Puis la transcendance de cos(x), sin(x), tg(x) dèsque x est algébriques non nul en effet:
$cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix} }{2}$
$2cos(x)e^{ix} - e^{2ix} - 1 =0$

$sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix} }{2i}$
$2isin(x)e^{ix} - e^{2ix} + 1 =0$

$tg(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix} }{e^{ix} + e^{-ix}}$
$tg(x)e^{ix} + tg(x)e^{-ix} - e^{ix} + e^{-ix} =0$
de même ln(x) est transcendant dèsque x algébrique <>1
En particulier:
cos(1), sin(1), ln(2), .....

Théorème de Lindemann-Weierstrass